Ⅵ-1. 피타고라스의 정리

Ⅵ. 파타고라스의 정리

1 피타고라스의 정리                 pp. 144~147

1 □ACHI+□BFGC=□AEDB이므로

□ACHI=□AEDB-□BFGC       =169-144=25(cm2)

2 [eqn: c ^{2}]=[eqn: (b-a) ^{2}]+[eqn: 4 TIMES {1} over {2} ab]

[eqn: c ^{2} =b ^{2} -2ab+a ^{2} +2ab]   ∴ [eqn: c ^{2} =a ^{2} +b ^{2}]

3 (1) [eqn: x ^{2}+8 ^{2} =10 ^{2}]이므로 [eqn: x ^{2} =36]

[eqn: x]>0이므로 [eqn: x]=6

(2) [eqn: 4 ^{2} +4 ^{2} =x ^{2}]이므로 [eqn: x ^{2} =32]

[eqn: x]>0이므로 [eqn: x=4 sqrt {2}]

4 [eqn: rm bar{AC} = sqrt {1 ^{2} +1 ^{2}} = sqrt {2}],

[eqn: rm bar{AD} = sqrt {1+2} = sqrt {3}],

[eqn: rm bar{AE} = sqrt {1+3} = sqrt {4} =2], [eqn: rm bar{AF} = sqrt {1+4} = sqrt {5}],

[eqn: rm bar{AG} = sqrt {1+5} = sqrt {6}], [eqn: rm bar{AH} = sqrt {1+6} = sqrt {7}],

[eqn: rm bar{AI} = sqrt {1+7} = sqrt {8} =2 sqrt {2}]

∴ [eqn: x=2 sqrt {2}]

5 [eqn: rm bar{AB} ` ^{2} + bar{CD} ` ^{2} = bar{BC} ` ^{2} + bar{AD} ` ^{2}]이므로

[eqn: 3 ^{2} +x ^{2} = 5 ^{2}+4 ^{2}], [eqn: x ^{2} =32]

[eqn: x]>0이므로 [eqn: x=4 sqrt {2}]

6 [eqn: 2 ^{2} + sqrt {5} ^{2} =3 ^{2}]이 성립하므로 이 삼각형은 빗변의 길이가 3 cm인 직각삼각형이다.

7 (1) [eqn: 1 ^{2} +2 ^{2} = sqrt {5} ` ^{2}]이므로 빗변의 길이가 [eqn: sqrt {5}] cm인 직각삼각형이다.

(4) [eqn: 6 ^{2} +8 ^{2} =10 ^{2}]이므로 빗변의 길이가 10 cm인 직각삼각형이다.

따라서 직각삼각형이 되는 것은 (1), (4)이다.

말로 묻고 말로 답하기                             p. 147

□AHIB의 넓이는 7+9=16(cm2)이고,

[eqn: rm bar{AB}]=4 cm, [eqn: rm bar{BC} = sqrt {7}] cm, [eqn: rm bar{AC} =3] cm

배운 내용 확인하기                                 p. 149

1 (1) [eqn: x ^{2} +24 ^{2} =25 ^{2},~x ^{2} =49]

[eqn: x]>0이므로 [eqn: x]=7

(2) 92+122=[eqn: x]2, [eqn: x]2=225

[eqn: x]>0이므로 [eqn: x]=15

2 [eqn: rm bar{AC}]//[eqn: rm bar{JG}], [eqn: rm bar{BC}]//[eqn: rm bar{FJ}]이므로

△ABC≡△DIC≡△GFJ

□DEHI≡□GJCB이므로

육각형 DEABHI와 CAFJGB의 넓이는 같다.

육각형 DEABHI에서 △ABC와 △DIC를 빼고, 육각형 CAFJGB에서 △ABC와 △GFJ를 빼면 그 남은 넓이는 서로 같다. 즉,

□DEAC+□ICBH=□AFGB

따라서 피타고라스의 정리가 성립한다.

3 (1) 22+[eqn: (2 sqrt {3} ) ^{2}]=16, 42=16이므로 직각삼각형이 된다.

(2) 52+122=165, 152=225이므로 직각삼각형이 아니다.

(3) 32+32=18, [eqn: (2 sqrt {3} ) ^{2}]=12이므로 직각삼각형이 아니다.

(4) 42+62=52, [eqn: (2 sqrt {13} ) ^{2}]=52이므로 직각삼각형이 된다.

생각 나눔터                                        p. 149

∠C=90°일 때, 피타고라스의 정리에 의하여 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =c ^{2}]이 성립한다.

∠C<90°일 때, 고무줄의 길이는 줄어들어  ∠C가 직각일 때보다 짧아지므로 [eqn: a ^{2} +b ^{2} >c ^{2}]이 된다.

∠C>90°일 때, 고무줄의 길이는 늘어나 ∠C가 직각일 때보다 길어지므로 [eqn: a ^{2} +b ^{2} <c ^{2}]이 된다.

Ⅵ-2. 피타고라스의 정리의 활용

1 평면도형에서의 활용           pp.153~156

1 (1) [eqn: sqrt { 6^2 +4^2}=2 sqrt { 13}(rmcm)]

(2) [eqn: sqrt { 5^2 +5^2}=5 sqrt { 2}(rmcm)]

2 정사각형의 한 변의 길이를 [eqn: a~rmcm]라 하면 대각선의 길이가 30 [eqn: rmcm]이므로

[eqn: sqrt { a^2 +a^2}=30], [eqn: sqrt { 2}a=30]

[eqn: THEREFORE~a=15 sqrt { 2}]

3 정삼각형의 높이를 [eqn: h~rmcm]라 하면

[eqn: h^2 =4^2 -2^2 =12]

[eqn: h>0]이므로 [eqn: h=2 sqrt { 3}]

정삼각형의 넓이를 [eqn: S~rmcm^2]라 하면

[eqn: S= { 1} over {2 } TIMES4 TIMES2 sqrt { 3}=4 sqrt { 3}]

4 삼각형의 높이를 [eqn: h~rmcm]라 하면 [eqn: TRIANGLE rmABH]에서

[eqn: h^2 =8^2 -3^2 =55]

[eqn: h>0]이므로 [eqn: h= sqrt { 55}]

5 꼭짓점 A에서 [eqn: bar { rmBC}]에 내린 수선의 발을 H라 하고,

[eqn: bar { rmAH}=h~rmcm],

[eqn: bar { rmBH}=x~rmcm]라 하면

[eqn: bar { rmCH}=(9-x)~rmcm]

[eqn: TRIANGLE rmABH]에서

[eqn: h^2 =5^2 -x^2]    ……①

[eqn: TRIANGLE rmACH]에서

[eqn: h^2 =(2 sqrt { 13})^2 -(9-x)^2]    ……②

①, ②에서

[eqn: 5^2 -x^2 =(2 sqrt { 13})^2 -(9-x)^2]  [eqn: THEREFORE~x=3]

[eqn: h>0]이므로 [eqn: h=4]

따라서 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 넓이는

[eqn: { 1} over {2 } TIMES9 TIMES4=18(rmcm^2 )]

6 꼭짓점 A, D에서 [eqn: bar { rmBC}]에 내린 수선의 발을 각각 G, H라 하면

[eqn: bar { rmBG}=5~rmcm], [eqn: bar { rmGH}=10~rmcm,~bar { rmCH}=5~rmcm]

[eqn: TRIANGLE rmABG]에서

[eqn: h^2 =13^2 -5^2 =144]

[eqn: h>0]이므로 [eqn: h=12]

따라서 사다리꼴의 넓이는

[eqn: { 1} over {2 } TIMES(10+20) TIMES12=180(rmcm^2 )]

7 (1) [eqn: bar { rmAB}^2 =4^2 +3^2 =25~`` THEREFORE~``bar { rmAB}=5]

(2) [eqn: bar { rmCD}^2 =3^2 +6^2 =45~`` THEREFORE~``bar { rmCD}=3 sqrt { 5}]

8 동물원에서 대공원 입구까지의 거리는 [eqn: sqrt { 4^2 +1^2}=sqrt { 17}]

동물원에서 놀이동산까지의 거리는 [eqn: sqrt { 3^2 +3^2}=3sqrt { 2}]

동물원에서 식물원까지의 거리는 [eqn: sqrt { 4^2 +2^2}=2sqrt { 5}]

동물원에서 미술관까지의 거리는 4이고,

[eqn: 4< sqrt { 17}<3 sqrt { 2}<2 sqrt { 5}]이므로 동물원에서 가장 가까운 곳은 미술관이다.

9 [eqn: bar { rmAB}= sqrt { 1^2 +4^2}= sqrt { 17}], [eqn: bar { rmBC}= sqrt { 4^2 +1^2}= sqrt { 17}], [eqn: bar { rmAC}= sqrt { 3^2 +5^2}= sqrt { 34}]이고,

[eqn: sqrt { 17}^2 +sqrt { 17}^2 = sqrt { 34}^2]이므로 [eqn: bar { rmAB}^2 + bar { rmBC}^2 =bar { rmAC}^2]이 성립한다.

따라서 [eqn: TRIANGLE rmABC]는 [eqn: bar { rmAC}]가 빗변인 직각삼각형이다.

말로 묻고 말로 답하기                             p. 156

1. (1) [eqn: bar { rmAB}~:~bar { rmBC}~:~bar { rmCA}= sqrt { 2}~:~1~:~1]

(2) [eqn: bar { rmAB}~:~bar { rmBC}~:~bar { rmCA}=2~:~1~:~ sqrt { 3}]

2. 원점에서 점 A(3, 4)까지의 거리는 [eqn: sqrt { 3^2 +4^2}=5,]

점 B(6, 6)까지의 거리는 [eqn: sqrt { 6^2 +6^2}=6 sqrt { 2}]

2 입체도형에서의 활용              p.158

1 (1) [eqn: sqrt { 3^2 +4^2 +12^2}= sqrt { 169}=13(rmcm)]

(2) [eqn: sqrt { 2^2 +2^2 +2^2}= sqrt { 12}=2 sqrt { 3} (rmcm)]

2 정사각뿔의 높이를 [eqn: h~rmcm]라 하면 밑면인 정사각형 BCDE에서

[eqn: bar { rmBD}= sqrt { 6^2 +6^2} =6 sqrt { 2} ~rm(cm)]이므로 [eqn: bar { rmBH}= 3sqrt {2}~rmcm]

[eqn: TRIANGLE rmAHB]는 [eqn: ANGLErmAHB=90 DEG]인 직각삼각형이므로 [eqn: h^2 +(3 sqrt { 2})^2 =9^2 ,~h^2 =63]

[eqn: h>0]이므로 [eqn: h=3 sqrt { 7}]

정사각뿔의 부피를 [eqn: V~rmcm^3]라 하면

[eqn: V= { 1} over {3 } TIMES36 TIMES3 sqrt { 7}=36 sqrt { 7}]

말로 묻고 말로 답하기                             p. 158

직육면체의 대각선은 [eqn: bar { rmAG},~bar { rmBH},~bar { rmCE},~bar { rmDF}]이다. [eqn: bar { rmAG}]의 길이는 직각삼각형 AEG 또는 직각삼각형 ACG를, [eqn: bar { rmBH}]의 길이는 직각삼각형 BFH 또는 직각삼각형 BDH를, [eqn: bar { rmCE}]의 길이는 직각삼각형 CAE 또는 직각삼각형 CGE를, [eqn: bar { rmDF}]의 길이는 직각삼각형 CGE를, [eqn: bar { rmDF}]의 길이는 직각삼각형 DHF 또는 직각삼각형 DBF를 이용하여 구할 수 있다.

배운 내용 확인하기                                 p. 161

1 장살의 길이를 [eqn: x~rmcm]라 하면 피타고라스의 정리에 의하여 [eqn: 40^2 +60^2 =x^2 ,~x^2 =5200]

[eqn: x>0]이므로 [eqn: x=20 sqrt { 13}]

따라서 장살의 길이는 [eqn: 20 sqrt { 13}~rmcm]이다.

2 [eqn: bar { rmAH}=h~rmcm], [eqn: bar { rmBH}=x~rmcm]라 하면

[eqn: bar { rmHC}=(14-x)~rmcm]

[eqn: TRIANGLE rmABH]에서

[eqn: h^2 +x^2 =13^2], [eqn: h^2 =169-x^2]

[eqn: TRIANGLE rmACH]에서

[eqn: h^2 +(14-x)^2 =15^2],

[eqn: h^2 =-x^2 +28x+29]

[eqn: 169-x^2 =-x^2 +28x+29], [eqn: 28x=140~ THEREFORE~x=5]

따라서 삼각형의 높이는 12 cm이고, 넓이는 [eqn: { 1} over {2 } TIMES14 TIMES12=84(rmcm^2 )]

3 C(2, 5)라 하면 [eqn: bar { rmAC}=3,~bar { rmBC}=3]

[eqn: TRIANGLE rmABC]는 직각삼각형이므로 피타고라스의 정리에 의하여

[eqn: bar { rmAB}^2 = 3^2 +3^2 =18]  [eqn: THEREFORE~`` bar { rmAB}=3 sqrt { 2}]

4 □BCDE가 한 변의 길이가 [eqn: 4~rmcm]인 정사각형이므로

[eqn: bar { rmBD}=4 sqrt { 2}~rmcm]

[eqn: THEREFORE~`` bar { rmDH}=2 sqrt { 2}~rmcm]

[eqn: TRIANGLE rmADH]에서 [eqn: bar { rmAD}=6~rmcm]이므로

피타고라스의 정리에 의하여

[eqn: bar { rmAH}^2 +(2 sqrt { 2})^2 = 6^2 ,~bar { rmAH}^2 =28]

[eqn: THEREFORE~`` bar { rmAH}=2 sqrt { 7}~rmcm]

따라서 정사각뿔의 부피는

[eqn: { 1} over {3 } TIMES4 TIMES4 TIMES2 sqrt { 7} = { 32 sqrt { 7} } over {3 } (rmcm^3 )]

생각 나눔터                                        p. 161

1. 지도에서 [eqn: bar { rmAB}=2~rmcm]이고, 축적이 1 : 50000이므로 A와 B 사이의 수평 거리는

[eqn: 50000 TIMES2~rmcm=100000~cm]

[eqn: =1000~rmm]

또, A와 B의 등고선의 차가 300이므로 두 지점의 높이 차는 300 m이다.

따라서 두 지점 A와 B 사이의 거리는

[eqn: sqrt { 1000^2 +300^2}= sqrt { 1090000}]

[eqn: =100 sqrt { 109}]

[eqn: image1044(rmm)]

2. [eqn: (시간)= { (거리)} over {(속력) }]이므로 [eqn: { 1044} over {2.25 }=464](초)

따라서 A 지점에서 B 지점까지 이동하는 데 걸리는 시간은 약 464초이다.

I-2. 이차함수의 그래프의 성질

1 이차함수 [eqn: y=ax^2]의 그래프    pp. 101~103

1  (1)    (2)

2

3 (1)

(2)

따라서 아래로 볼록한 것은 (1), 위로 볼록한 것은 (2)이다.

4 (1) [eqn: y=ax ^{2}]의 그래프에서 [eqn: a]의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아지므로 그래프의 폭이 가장 좁은 것은 ㉢, 가장 넓은 것은 ㉥이다.

(2) [eqn: y=-ax ^{2}]의 그래프는 [eqn: y=ax ^{2}]의 그래프와 [eqn: x]축에 대칭이므로 ㉡-㉨, ㉤-㉧이다.

말로 묻고 말로 답하기                             p. 103

1. [eqn: a]의 값이 클수록 그래프의 폭은 좁아진다,

2. [eqn: a]의 값이 작을수록 그래프의 폭은 좁아진다.

2 이차함수 [eqn: y=a(x-p)^2 +q]     pp. 105~111

1 (1) 축: [eqn: y]축

꼭짓점: (0, 1)

(2) 축: [eqn: y]축

꼭짓점: (0, -2)

2 (1) 축: [eqn: y]축, 꼭짓점: (0, 3)

(2) 축: [eqn: y]축, 꼭짓점: (0, -1)

(3) 축: [eqn: y]축, 꼭짓점: (0, -5)

(4) 축: [eqn: y]축, 꼭짓점: (0, 4)

3 (1) [eqn: y=5x ^{2} +3]       (2) [eqn: y= {3} over {4} x ^{2} -2]

(3) [eqn: y=-4x ^{2} +2]      (4) [eqn: y=- {2} over {3} x ^{2} -5]

4 (1) 축: [eqn: x=4]

꼭짓점: (4, 0)

(2) 축: [eqn: x=-3]

꼭짓점: (-3, 0)

5 (1) 축: [eqn: x=1], 꼭짓점: (1, 0)

(2) 축: [eqn: x=-4], 꼭짓점: (-4, 0)

(3) 축: [eqn: x=2], 꼭짓점: (2, 0)

(4) 축: [eqn: x=-6], 꼭짓점: (-6, 0)

6 (1) [eqn: y=(x-4) ^{2}]      (2) [eqn: y=- {2} over {3} (x-3) ^{2}]

(3) [eqn: y=5(x+2) ^{2}]     (4) [eqn: y=- {1} over {6} (x+1) ^{2}]

7 (1) 축: [eqn: x=3]

꼭짓점: (3, 1)

(2) 축: [eqn: x=-2]

꼭짓점: (-2, -3)

8 (1) 축: [eqn: x=2], 꼭짓점: (2, 4)

(2) 축: [eqn: x=-1], 꼭짓점: (-1, 3)

(3) 축: [eqn: x=-2], 꼭짓점: (-2, -5)

(4) 축: [eqn: x=5], 꼭짓점: (5, -2)

9 (1) [eqn: y=3(x-2) ^{2} +4]

(2) [eqn: y= {2} over {5} (x+2) ^{2} +3]

(3) [eqn: y=-(x-5) ^{2} -3]

(4) [eqn: y=-5(x+3) ^{2} -5]

말로 묻고 말로 답하기                             p. 111

(1) [eqn: x]축 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다.

(2) [eqn: x]축 방향으로 4만큼 평행이동한 것이다.

(3) [eqn: y]축 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다.

(4) [eqn: x]축 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다.

(5) [eqn: x]축 방향으로 4만큼, [eqn: y]축 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다.

3 이차함수 [eqn: y=ax^2 +bx+c]의 그래프                                     pp. 113~117

1 (1) [eqn: x ^{2} +8x+2# =(x ^{2} +8x+16-16)+2# =(x+4) ^{2} -14]

(2) [eqn: -x ^{2} +2x+1# `=-(x ^{2} -2x+1)+1+1# `=-(x-1) ^{2} +2]

(1)    (2)

2 (1) [eqn: y=2x ^{2} -6x+3# ~`````=2 LEFT ( x ^{2} -3x+ {9} over {4} - {9} over {4} RIGHT ) +3# ~`````=2 LEFT ( x- {3} over {2} RIGHT ) ^{2} - {3} over {2}]

꼭짓점: [eqn: LEFT ( {3} over {2} ,~- {3} over {2} RIGHT )], 축: [eqn: x= {3} over {2}],

[eqn: y]절편: (0, 3)

(2) [eqn: y=-4x ^{2} -8x+5# ~`````=-4(x ^{2} +2x+1-1)+5# ~`````=-4 LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} +9]

꼭짓점: [eqn: (-1,~9)], 축: [eqn: x=-1],

[eqn: y]절편: (0, 5)

(1)   (2)

3 (1) [eqn: y=2x ^{2} +4x-1# `````=2(x ^{2} +2x+1)-3# `````=2(x+1) ^{2} -3]

(2) [eqn: y=-3x ^{2} +6x-4# `````=-3(x ^{2} -2x+1)-1# ``````=-3(x-1) ^{2} -1]

(1)   (2)

(3) [eqn: y= {1} over {2} x ^{2} -2x+3 = {1} over {2} (x ^{2} -4x+4)+1# `````= {1} over {2} (x-2) ^{2} +1]

(4) [eqn: y=-4x ^{2} +8x =-4(x ^{2} -2x+1)-1# ~`````=-4(x-1) ^{2} +4]

(3)   (4)

4 꼭짓점의 좌표가 (-2, 5)이므로

[eqn: y=a(x+2) ^{2} +5]

점 (0, 1)을 지나므로 [eqn: 4a+5=1`````]

[eqn: THEREFORE ``a=-1]

[eqn: y=-(x+2) ^{2} +5][eqn: =-x ^{2} -4x+1]

∴ a=-1, b=-4, c=1

5 (1) 꼭짓점의 좌표가 (0, 0)이므로 최솟값 0

(2) 꼭짓점의 좌표가 (0, 0)이므로 최댓값 0

6 (1) [eqn: x=0]일 때, 최솟값 3

(2) [eqn: x=-1]일 때, 최댓값 -3

(3) [eqn: x=2]일 때, 최솟값 -4

(4) [eqn: x= {3} over {2}]일 때, 최솟값 [eqn: {1} over {2}]

(5) [eqn: x=2]일 때, 최댓값 11

(6) [eqn: x=1]일 때, 최댓값 5

말로 묻고 말로 답하기                             p. 236

1. (1) (0, 0)           (2) (3, 0)        (3) (3, 5)           (4) (0, 0)       (5) (0, 1)            (6) (2, 4)

2. (1) 최솟값 0        (2) 최솟값 0

(3) 최솟값 5        (4) 최댓값 0

(5) 최댓값 0        (6) 최댓값 4

3. (2)의 그래프의 최솟값은 0, (5)의 그래프의 최댓값은 0이므로 같다. 또, 2의 절댓값은 -3의 절댓값보다 작으므로 (2)의 그래프의 폭은 (4)의 그래프의 폭보다 넓다.

따라서 틀리게 말한 학생은 명선이와 석우다.

배운 내용 확인하기                                 p. 119

1 점 (2, 12)를 지나므로

[eqn: 4a=12~~ THEREFORE~a=3]

2 (1) 축: [eqn: x=-4], 꼭짓점: (-4, 0)

(2) 축: [eqn: x=1], 꼭짓점: (1, -2)

(3) 축: [eqn: x=-2], 꼭짓점: [eqn: LEFT ( -2,~{1} over {2} RIGHT )]

(4) 축: [eqn: x= {1} over {3}], 꼭짓점: [eqn: LEFT ( {1} over {3} ,~2 RIGHT )]

3

4 (1) [eqn: y=x ^{2} +2x=(x+1) ^{2} -1]

이므로 [eqn: x=-1]에서 최솟값 -1을 갖는다.

(2) [eqn: y=-x ^{2} +4x-3=-(x-2) ^{2} +1]

이므로 [eqn: x=2]에서 최댓값 1을 갖는다.

생각 나눔터                                        p. 120

2와 3 사이에서 [eqn: x]의 값을 더 조밀하게 하여 [eqn: y]의 값을 조사한다.